La topologie du tore :

 

 

* Le premier aspect topologique içi correspond à savoir comment on obtient une surface donnée en "cousant" les bords d'un carré:

¤ exemple simple : Si on coud 2 côtés opposés dans le même sens : on obtient un ruban simple (ou un cylindre tronqué)

 

 

 

¤ exemple interessant : Si on coud 2 côtés opposés dans le sens contraire : on obtient un ruban de Möbius. :
-Le ruban de Möbius est une surface qui peut être caractérisée par le fait qu’elle possède une seule face (autrement dit elle est unilatère, donc non orientable) et un bord unique :

 

 

 

 

 

¤ autre exemple interessant : Si on coud les côtés opposés , un couple dans le même sens, l'autre en sens contraire : on obtient une bouteille de Klein :
-Surface étudiée par Klein en 1882.
L'appellation "bouteille" proviendrait d'un jeu de mot en allemand entre "kleinsche Fläche" (surface de Klein) et "kleinsche Flasche" (bouteille de Klein).
- On obtient aussi une bouteille de Klein en cousant deux rubans de Möbius bord à bord.
- Si la représentation classique ressemble bien à une bouteille (dans laquelle on évitera de mettre du liquide !), n'importe quelle surface engendrée par le mouvement d'un cercle (de rayon variable ou non) qui revient sur lui-même après rotation d'un demi-tour est une représentation de la bouteille de Klein.

 

 

 

 

 

¤ exemple plus complexe à imaginer : Si on coud les côtés opposés en sens contraires : on obtient un plan projectif.
- C'est une surface assez complexe étudiée par Klein en 1874 :

 

 

 

 

¤ Le cas du tore : Si on coud les côtés opposé entre eux dans le même sens : on obtient un tore :

C'est grâce aussi à cette topologique qu'on a pu créer un carré magique : Il s'agit d'un jeu mathématiques, d'un tableau de nombres tels que les sommes des nombres de chaque ligne, de chaque colonne, de chaque diagonale, soient égales. Le carré est concidéré comme un tore, c'est à dire qu'on "coud" ses côtés opposés entre eux dans le même sens si bien que tout saut d'une case extérieure ramène le nombre sur une case intérieure dans la même ligne ou la même colone. Voici un carré magique, le plus simple existant :

 

 

 

 

 

* Le deuxième aspect topologique correspond au coloriage du tore : Toute surface peut être concue comme une carte, le but étant que tous les pays touchent au moins une fois tous les autres, pour cela chauque pays sera représenté par une couleur. A titre comparatif une sphère et une surface plane ne peuvent être coloriées qu'avec quatres couleurs au maximum, un tore lui admet septs couleurs au maximum :