Quelques calculs à partir d'un théorème ...

 

 

*Le volume et l'aire d'un tore (défini dans la définition) peuvent être trouvés grâce aux théorèmes de Pappus-Guldin :

 

1. Si D désigne un domaine plan d'aire α , de centre de gravité G, le volume engendré par la rotation de D autour d'un axe Δ situé dans son plan est donné par la formule :

2 παGH, où H est le projeté orthogonal de G sur Δ.

 

 

 

Donc le volume du tore engendré par la rotation d'un cercle (c) de rayon r dont le centre est situé à la distance a de l'axe -noté ici (d) sur le schéma- est 2α π²r²

 

2. Si (c) désigne un arc de courbe plane de longueur L tournant autoure d'un axe Δ ne la rencotrant pas, la surface engendrée par (c) a pour aire :

2πGHL, où H est le projeté orthogonal de G sur Δ.

 

Donc l'aire du tore engendrée par la rotation d'un cercle (c) de rayon r dont le centre est situé à la distance a de l'axe -noté ici (d)sur le schéma- est 4π²rα

 

 

 

 

Pour information:

Paul GULDIN est un mathématicien Suisse (1577-1643) connu pour ses formules (déjà énoncées par PAPPUS d'Alexandrie d'où le nom des théorèmes), relatives aux calculs d'aires et de volume dans son traité "Centrobaryca" où il fait intervenir les centres de gravité. C'est cependant à CAVALIERI que l'on doit la démonstration de ces énoncés.

 

 

* Le Principe de Cavalieri :

Une preuve intéressante de la formule du volume du tore peut-être obtenue par ce principe : il s'agit de montrer que le volume du tore T est égal à celui d'un cylindre droit C de rayon R et de longueur 2πd.

En mettant chacun de ces volumes "à plat" sur un même plan horizontal (l'axe du tore étant alors vertical, celui du cylindre horizontal) et en coupant horizontalement, il est facile de vérifier que les sections à même hauteur ont même aire. Les volumes de T et C sont donc identiques.

Archimède appliquant la même méthodepour exprimer le volume de la sphère comme différence entre le volume d'un cylindre et celui d'un cône.

La connaissance du volume permet de choisir des dimensions appropriées (ex : la charge que peut soutenir une bouée sans couler dépend du volume de la bouée)